Apuntes de electrónica: Circuito RL en continua

En una entrada anterior realicé el análisis de la carga y descarga del condensador en un circuito RC en continua. Hoy le toca al circuito RL en continua.

Antes de analizar matemáticamente el circuito realizaré un análisis funcional del mismo. El circuito es una fuente de tensión E que alimenta en serie una inductancia L y una resistencia R:

E = V_L + V_R

En el instante inicial suponemos que la corriente es cero. Por tanto la tensión en la resistencia es cero y la tensión en el inductor es igual a la de la fuente de tensión:

t = 0, i = 0\\
\vphantom{}\\
E = V_L + V_R = V_L + R\cdot{}i = V_L

La resistencia del inductor es idealmente nula, por tanto en el instante inicial no debería tener tensión. Sin embargo, como ya vimos en la entrada sobre las bobinas, la respuesta de la inductancia es oponerse a la variación positiva de la corriente induciendo una tensión que se oponga a dicha variación:

v=-L\frac{di}{dt}

Esta expresión es la que vimos como característica de la inductancia. Si nos fijamos en esta expresión y en el valor de la tensión de la bobina en t = 0 nos damos cuenta de que en ese instante el incremento de la corriente es positivo y por tanto la tensión inducida debería ser negativa… y sin embargo es positiva: ¿qué está pasando?

Lo que pasa es que el signo negativo de la expresión característica es un engaño… bueno, es un recordatorio de cómo actúa la inductancia. Si lo preferís es una regla nemotécnica que no hay que utilizar en los análisis.

Por tanto la expresión que hay que utilizar para el análisis es esta:

\tag{1} v=L\frac{di}{dt}

Según pasa el tiempo la corriente va aumentando hasta que llega a su máximo y se estabiliza. En ese momento la variación de la misma es nulo (di = 0) y por tanto la tensión en la bobina también es cero.

Hasta aquí sería el equivalente al circuito de carga del condensador: hemos tomado un inductor descargado y le hemos aplicado una corriente hasta que ha quedado cargado.

En este instante, con la corriente estable y la tensión de la bobina igual a cero provocamos un cambio en el circuito: hacemos que la fuente de alimentación sea un cortocircuito virtual (E = 0). Este instante será el t = 0 del circuito de descarga. Y el inicio del análisis matemático.

Análisis matemático

Veamos las condiciones iniciales:

t = 0, E = V_L + V_R = 0\\
\vphantom{} \\
\tag{2} V_L = -V_R=-R\cdot{}i

A partir de este punto sólo trataremos con la tensión de la bobina, por lo que no utilizaré subíndice para la tensión.

Dando la vuelta a la expresión (2) podemos calcular la variación de la corriente en función de la variación de la tensión:

\tag{3} di = -\frac{1}{R}dv

Podemos fijarnos cómo aparece el signo negativo que nos indica que una disminución de la tensión ocasiona un aumento de la corriente y viceversa. En estas expresiones podemos leer dv y di como delta v y delta i, es decir podríamos sustituir la simbología utilizada en cálculo diferencial por la simbología utilizada para expresar variaciones:

\Delta{i} = -\frac{1}{R}\Delta{v}

Por eso tiene sentido el signo negativo, porque si la tensión disminuye, la variación es negativa y por tanto la variación de la corriente es positiva y en consecuencia la misma aumenta.

Retomamos la ecuación característica de la bobina (1) con la expresión de la corriente en (3):

\tag{4} v=-\frac{L}{R}\frac{dv}{dt}

Preparamos (4) para integrar y procedemos:

-\frac{R}{L}dt = \frac{1}{v}dv\\
\vphantom{}\\
\int{-\frac{R}{L}dt} = \int{\frac{1}{v}dv}\\
\vphantom{}\\
\tag{5} -\frac{R}{L}t+K=\ln{v}

Hallamos el valor de K:

K=\frac{R}{L}t+\ln{v}

En el instante inicial t = 0 e v = V₀:

\tag{6} K=\ln{V_0}

Sustituimos en (5) el valor de K:

-\frac{R}{L}t+\ln{V_0}=\ln{i}\\
\vphantom{}\\
-\frac{R}{L}t=\ln{v}-\ln{V_0}\\
\vphantom{}\\
-\frac{R}{L}t=\ln{\frac{v}{V_0}}\\
\vphantom{}\\
\tag{7} e^{-tR/L}=\frac{v}{V_0}

Y finalmente despejamos la tensión:

\tag{8} \Large \boxed{v=V_0·e^{-tR/L}}

Si definimos tau como:

\tau=\frac{L}{R}

Entonces la expresión final (8) nos queda así:

\tag{9} \Large \boxed{v=V_0·e^{-t/\tau}}

Si recordamos la expresión para el circuito RC:

\tag{10} \Large \boxed{i=I_0·e^{-t/RC}}

Y definimos tau como:

\tau=RC

Entonces la expresión del circuito RC (10) nos queda así:

\tag{11} \Large \boxed{i=I_0·e^{-t/\tau}}

Comparemos las expresiones del circuito RL y RC juntas:

\Large v=V_0·e^{-t/\tau}
\vphantom{}\\
\Large i=I_0·e^{-t/\tau}

No me vais a negar que es maravilloso y justo lo que os expliqué en mi post de las bobinas: que el comportamiento de las bobinas era el inverso al de los condensadores.

Lo de tau no es un invento mío, por supuesto. Tau, en electrónica se denomina constante de tiempo y como hemos visto tiene la siguiente expresión:

\tau=RC=\frac{L}{R}

El porqué definimos tau de esta manera es porque así podemos expresar el tiempo como el numero de veces que transcurre la constante de tiempo. Y además sabemos que cuando t = 5τ podemos considerar el circuito estable ya que:

e^{-5}=0.0067

Es decir, la tensión/corriente en ese instante es tan sólo un 0.67% del valor inicial: algo normalmente despreciable.

Como premio por aguantar hasta el final os dejo esta bonita simulación:

En el circuito τ = 1mH/1Ω = 1ms por tanto en 5ms el circuito se puede considerar estable, tal y como se ve en las gráficas de tensión y corriente del inductor. La tensión de alimentación es una onda cuadrada que tiene 10V durante 10ms y 0V durante otros 10ms. Así podemos ver durante 10ms un circuito de carga y durante los siguientes 10ms un circuito de descarga.

Una vez más los créditos del simulador son de Paul Falstad que desarrollo el simulador original en Java y de Iain Sharp que lo convirtió a JavaScript.