Apuntes de electrónica: Circuito RC en continua

En la entrada anterior no analicé por completo el circuito RC en continua. Dedicaré esta entrada al análisis de la carga y descarga del condensador en un circuito RC.

Analizaré el circuito de descarga, en este caso contamos con el condensador C cargado a una tensión V_c0 y la resistencia R conectada en paralelo al condensador. En el instante inicial la corriente es:

I_0=\frac{V_{c0}}{R}

La definición de intensidad de corriente eléctrica es:

Cantidad de carga por unidad de tiempo.

Wikipedia: Corriente eléctrica

i = \frac{q}{t}

Así pues para saber la cantidad de carga eléctrica en función del tiempo:

\tag{1} q(t)=\int{i·dt}

Efectivamente, tenemos que integrar debido a que tenemos que considerar no la cantidad de carga en un instante sino también la suma de todos los instantes previos.

La carga eléctrica que tiene un condensador se definía como:

\tag{2} Q=C·V_c\\
\vphantom{}\\
V_c=\frac{Q}{C}

Sustituyendo en (2) Q por su valor q(t) en (1)

\tag{3} V_c=\frac{1}{C}\int{i·dt}

Podemos considerar que el circuito de descarga es un circuito de carga con E = 0:

\tag{4} E=V_r+V_c=0\\
\vphantom{}\\
V_c=-V_r=-R·i

Sustituimos en (3) V_c por su valor en (4):

\tag{5} \frac{1}{C}\int{i·dt}=-Ri

Derivando la expresión respecto del tiempo:

\tag{6} \frac{1}{C}i=-R\frac{di}{dt}\\
\vphantom{}\\
-\frac{1}{RC}dt=\frac{1}{i}di

Integramos:

\tag{7} \int{-\frac{1}{RC}dt}=\int{\frac{1}{i}di}\\
\vphantom{}\\
-\frac{1}{RC}t+K=\ln{i}

Hallamos el valor de K:

K=\frac{t}{RC}+\ln{i}

En el instante inicial t = 0 e i = I₀:

\tag{8} K=\ln{I_0}

Sustituimos en (7) el valor de K:

\tag{9} -\frac{1}{RC}t+\ln{I_0}=\ln{i}\\
\vphantom{}\\
-\frac{1}{RC}t=\ln{i}-\ln{I_0}\\
\vphantom{}\\
-\frac{1}{RC}t=\ln{\frac{i}{I_0}}\\
\vphantom{}\\
e^{-t/RC}=\frac{i}{I_0}

Y finalmente despejamos la intensidad:

\Large \boxed{i=I_0·e^{-t/RC}}

Como he dicho anteriormente el circuito de descarga es un circuito de carga en cortocircuito (E = 0). Lo interesante de la ecuación expresada en función de la intensidad inicial es:

• No importa si el circuito es de carga o descarga
• No importa el estado inicial del condensador
• Sólo necesitamos saber o calcular la corriente inicial.

Hoy en día resulta fácil encontrar esta demostración, pero hace unos 25 años no era tan fácil y lo que encontré en libros era la formula final expresada en tensiones para circuito de carga. En aquel entonces apenas había aprendido a integrar y derivar uno o dos cursos antes y se me ocurrió intentar demostrar la formula.